備考2017年小升初必知的33個(gè)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)公式大數(shù)通分母方法口訣，你值得擁有！更多內(nèi)部資料歡迎關(guān)注【51學(xué)霸網(wǎng)】微信公眾平臺(tái)，你想知道的我們都有。

1.和差倍問(wèn)題

　　和差問(wèn)題

　　和倍問(wèn)題

　　差倍問(wèn)題

　　已知條件

　　幾個(gè)數(shù)的和與差

　　幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)

　　幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)

　　公式適用范圍

　　已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

　　公式

　　①(和－差)÷2=較小數(shù)

　　較小數(shù)＋差=較大數(shù)

　　和－較小數(shù)=較大數(shù)

　?、?和＋差)÷2=較大數(shù)

　　較大數(shù)－差=較小數(shù)

　　和－較大數(shù)=較小數(shù)

　　和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)

　　小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

　　和－小數(shù)=大數(shù)

　　差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)

　　小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

　　小數(shù)＋差=大數(shù)

　　關(guān)鍵問(wèn)題

　　求出同一條件下的

　　和與差

　　和與倍數(shù)

　　差與倍數(shù)

2.年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征

　?、賰蓚€(gè)人的年齡差是不變的；

　?、趦蓚€(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

　?、蹆蓚€(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3.歸一問(wèn)題的基本問(wèn)題

　　問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹(shù)問(wèn)題

　　基本類型

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)

　　在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù)

　　封閉曲線上植樹(shù)

　　基本公式

　　棵數(shù)=段數(shù)＋1

　　棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)

　　棵數(shù)=段數(shù)－1

　　棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)

　　棵數(shù)=段數(shù)

　　棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)

　　關(guān)鍵問(wèn)題

　　確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5.雞兔同籠問(wèn)題

　　基本概念：

　　雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；

　　基本思路：

　?、偌僭O(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

　?、诩僭O(shè)后，發(fā)生大數(shù)通分母方法口訣了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

　?、勖總€(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

　?、茉俑鶕?jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

　　基本公式：

　　①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）

　?、诎阉型米蛹僭O(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

　　關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

6.盈虧問(wèn)題

　　基本概念：

　　一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

　　基本思路：

　　先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。

　　基本題型：

　　①一次有余數(shù)，另一次不足；

　　基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　?、诋?dāng)兩次都有余數(shù)；

　　基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　?、郛?dāng)兩次都不足；

　　基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

　　基本特點(diǎn)：

　　對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問(wèn)題

　　基本思路：

　　假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

　　基本特點(diǎn)：

　　原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定兩個(gè)不變的量。

　　基本公式：

　　生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；

　　總草量=較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量；

8.周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

　　周期現(xiàn)象：

　　事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

　　周期：

　　我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定循環(huán)周期。

　　閏 年：一年有366天；

　?、倌攴菽鼙?整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

　　平 年：一年有365天。

　?、倌攴莶荒鼙?整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9.平均數(shù)

　　基本公式：

　?、倨骄鶖?shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

　　總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

　　總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

　?、谄骄鶖?shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)

　　基本算法：

　?、偾蟪隹倲?shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

　?、诨鶞?zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②

10.抽屜原理

　　抽屜原則一：

　　如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

　?、?=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

　　觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

　　抽屜原則二：

　　如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:

　　①k=[n/m ]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

　?、趉=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

　　理解知識(shí)點(diǎn)：

　　[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。

　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

11.定義新運(yùn)算

　　基本概念：

　　定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。

　　基本思路：

　　嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

　　注意事項(xiàng)：

　?、傩碌倪\(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

　?、诿總€(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和

　　等差數(shù)列：

　　在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

　　基本概念：

　　首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；

　　項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

　　公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

　　通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

　　數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示．

　　基本思路：

　　等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

　　基本公式：

　　通項(xiàng)公式：an = a1+（n－1）d；

　　通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)×公差；

　　數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

　　數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；

　　項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

　　項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；

　　公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.二進(jìn)制及其應(yīng)用

　　十進(jìn)制：

　　用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

　　=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

　　注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）

　　二進(jìn)制：

　　用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

　?。?）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

　　+……+A3×22+A2×21+A1×20

　　注意：An不是0就是1。

　　十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

　　①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。

　?、谙日页霾淮笥谠摂?shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。

14.加減乘除原理和幾何計(jì)數(shù)

　　加法原理：

　　如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定工作的分類方法。

　　基本特征：

　　每一種方法都可完成任務(wù)。

　　乘法原理：

　　如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定工作的完成步驟。

　　基本特征：

　　每一步只能完成任務(wù)的一部分。

　　直線：

　　一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

　　直線特點(diǎn)：

　　沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

　　線段：

　　直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

　　線段特點(diǎn)：

　　有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

　　射線：

　　把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。

　　射線特點(diǎn)：

　　只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。

　　①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）；

　?、跀?shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；

　　③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：

　?、軘?shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

　　質(zhì)數(shù)：

　　一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

　　合數(shù)：

　　一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

　　質(zhì)因數(shù)：

　　如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

　　分解質(zhì)因數(shù)：

　　把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

　　分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：

　　N= ，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。

　　求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：

　　P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

　　互質(zhì)數(shù)：

　　如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16.約數(shù)與倍數(shù)

　　約數(shù)和倍數(shù)：

　　若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

　　公約數(shù)：

　　幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

　　最大公約數(shù)的性質(zhì)：

　　1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

　　2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

　　3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

　　4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

　　例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

　　那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；

　　求最大公約數(shù)基本方法：

　　1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

　　2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

　　3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

　　公倍數(shù)：

　　幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

　　18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；

　　最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

　　1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

　　2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

　　求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17.數(shù)的整除

　　基本概念和符號(hào)：

　　1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“ ”；因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”；

　　整除判斷方法：

　　1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　?、倌┤簧蠑?shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

　?、谄鏀?shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

　?、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩?shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　?、倌┤簧蠑?shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

　?、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩?shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

　　整除的性質(zhì)：

　　1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18.余數(shù)及其應(yīng)用

　　基本概念：

　　對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

　　余數(shù)的性質(zhì)：

　　①余數(shù)小于除數(shù)。

　　②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

　?、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

　?、躠與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19.余數(shù)、同余與周期

　　同余的定義：

　　①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。

　?、谝阎齻€(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　同余的性質(zhì)：

　　①自身性：a≡a(mod m)；

　?、趯?duì)稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

　　③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

　?、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　?、菹喑诵裕喝鬭≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

　?、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

　?、咄缎?若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

　　關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：

　?、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　?、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　被3、9、11除后的余數(shù)特征：

　?、僖粋€(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　費(fèi)爾馬小定理：

　　如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

20.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

　　基本概念與性質(zhì)：

　　分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

　　分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

　　分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

　　百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

　　常用方法：

　　①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

　　②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

　?、坜D(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

　　④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

　?、尢鎿Q思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21.分?jǐn)?shù)大小的比較

　　基本方法：

　　①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

　　②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

　?、刍鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

　?、芊肿雍头帜复笮”容^法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

　?、荼堵时容^法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）

　　⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

　　⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

　　⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

　?、岬箶?shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

　?、饣鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.完全平方數(shù)

　　完全平方數(shù)特征：

　　1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

　　2.除以3余0或余1；反之不成立。

　　3.除以4余0或余1；反之不成立。

　　4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

　　5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

　　6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

　　7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

　　平方差公式：

　　X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

　　完全平方和公式：

　?。╔+Y）2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：

　?。╔-Y）2=X2-2XY+Y2

23.比和比例

　　比：

　　兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

　　比值：

　　比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

　　比的性質(zhì)：

　　比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

　　比例：

　　表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

　　比例的性質(zhì)：

　　兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：

　　若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。

　　反比例：

　　若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。

　　比例尺：

　　圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

　　按比例分配：

　　把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

24.綜合行程

　　基本概念：

　　行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.

　　基本公式：

　　路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

　　相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式）

　　追及問(wèn)題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差（寫(xiě)出其他公式）

　　流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間

　　逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間

　　順?biāo)俣?船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

　　水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

　　流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

　　過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

　　主要方法：畫(huà)線段圖法

　　基本題型：

　　已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

25.工程問(wèn)題

　　基本公式：

　　①工作總量=工作效率×工作時(shí)間

　?、诠ぷ餍?工作總量÷工作時(shí)間

　?、酃ぷ鲿r(shí)間=工作總量÷工作效率

　　基本思路：

　　①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無(wú)關(guān)）；

　?、诩僭O(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　　確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

26.邏輯推理

　　條件分析—假設(shè)法：

　　假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

　　條件分析—列表法：

　　當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

　　條件分析—圖表法：

　　當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。

　　邏輯計(jì)算：

　　在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

　　簡(jiǎn)單歸納與推理：

　　根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。

27.幾何面積

　　基本思路：

　　在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

　　常用方法：

　　1.連輔助線方法

　　2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

　　3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。

　　4.利用特殊規(guī)律

　?、俚妊苯侨切?，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

　　②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

　?、蹐A的面積占外接正方形面積的78.5%。

28.時(shí)鐘問(wèn)題——快慢表問(wèn)題

　　基本思路：

　　1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題；

　　2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；

　　3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

　　4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；

　　5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系；

29.時(shí)鐘問(wèn)題——鐘面追及

　　基本思路：

　　封閉曲線上的追及問(wèn)題。

　　關(guān)鍵問(wèn)題：

　?、俅_定分針與時(shí)針的初始位置；

　　②確定分針與時(shí)針的路程差；

　　基本方法：

　　①分格方法：

　　時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。

　?、诙葦?shù)方法：

　　從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。

30.濃度與配比

　　經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

　　在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

　　溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

　　溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

　　溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

　　基本公式：

　　溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量；

　　溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度；

　　濃度= 溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）×100%

　　經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

　　在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

31.經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

　　利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）÷成本×100%；

　　賣價(jià)=成本×（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

　　成本=賣價(jià)÷（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

　　商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定；

　　定價(jià)=成本×（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

　　本金：儲(chǔ)蓄的金額；

　　利率：利息和本金的比；

　　利息=本金×利率×期數(shù)；

　　含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×（1+增值稅稅率）；

32.不定方程

　　一次不定方程：

　　含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

　　常規(guī)方法：

　　觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；

　　多元不定方程：

　　含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

　　多元不定方程解法：

　　根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

　　涉及知識(shí)點(diǎn)：

　　列方程、數(shù)的整除、大小比較；

　　解不定方程的步驟：

　　1、列方程；2、消元；3、寫(xiě)出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案；

　　技巧總結(jié)：

　　A、寫(xiě)出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；

　　B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；

33.循環(huán)小數(shù)

　　把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則：

　?、偌冄h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

　?、诨煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

　　分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

　?、僖粋€(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

　　②一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。

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