做數(shù)學(xué)題最郁悶威斯特伐利亞模式的，大概就是會(huì)做的題目，辛辛苦苦算完威斯特伐利亞模式了，結(jié)果答案錯(cuò)威斯特伐利亞模式了。

　　家長(zhǎng)們最郁悶的，大概就是明明可以考100分，結(jié)果“粗心大意”，總要扣掉幾分。到了下次考試之前，忍不住要反復(fù)叮囑，一定要仔細(xì)啊，一定要檢查啊。等到成績(jī)一出來(lái)，又丟分在了“粗心大意”。

　　檢查這種事情，說(shuō)起來(lái)容易，做起來(lái)難。自己寫(xiě)的文章，盯著看幾遍都看不出里面的錯(cuò)別字。因?yàn)槲覀兊拇竽X，在看熟悉的東西時(shí)，能自動(dòng)把里面的錯(cuò)誤過(guò)濾掉。就像這句話，你讀起來(lái)沒(méi)有一點(diǎn)礙障，即使面里有不少錯(cuò)誤。

　　波利亞在《怎樣解題》里，講了檢查答案的三種方法：

　　一、量綱檢驗(yàn)

　　聽(tīng)起來(lái)很玄，其實(shí)意思很簡(jiǎn)單，就是檢查答案的單位。

　　之前我們舉過(guò)這樣一道題目：

　　一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都是a，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，求這個(gè)球的表面面積。

　?。ū绢}可以把四面體補(bǔ)全成立方體再計(jì)算）

　　我們就可以用量綱檢驗(yàn)來(lái)檢查答案。比方說(shuō)，算出來(lái)的答案是：

　　邊長(zhǎng)a的單位是長(zhǎng)度單位，假定是米，那么表面積的單位就是平方米。而答案的單位是立方米，所以，這個(gè)答案顯然不對(duì)。

　　老師們總是叫學(xué)生們要帶上單位計(jì)算，也有一部分是這個(gè)目的。單位正確了，答案才有可能正確。

　　二、特殊化

　　我們之前講過(guò)，可以用一個(gè)特殊的例子來(lái)幫助找出問(wèn)題的思路，同樣的方法也可以用來(lái)檢查答案是不是正確。

　　舉個(gè)例子，在《比例問(wèn)題（五）：算錯(cuò)了？那是因?yàn)闆](méi)掌握好運(yùn)算法則和驗(yàn)算方法》這一期的時(shí)候，我們講到了這樣一道題目：

　　有甲乙丙三個(gè)梯形，威斯特伐利亞模式他們的高之比是1:2:3，上底之比是6:9:4，下底之比是12:15:10，已知甲梯形的面積是30平方厘米，那么乙、丙兩個(gè)梯形的面積之和是多少？

　　當(dāng)時(shí)我們是這么算的：

　　甲、乙、丙三個(gè)梯形的面積比就等于，(6+12)×1÷2:(9+15)×2÷2:(4+10)×3÷2=6:8:7

　　甲梯形面積為30平方厘米，所以乙梯形面積等于30÷6×8=40平方厘米，丙梯形面積等于30÷6×7=35平方厘米，乙丙兩個(gè)梯形的面積之和為75平方厘米。

　　這個(gè)答案對(duì)不對(duì)呢？我們來(lái)一個(gè)特殊的例子來(lái)驗(yàn)算一下。

　　我們假設(shè)甲梯形的上底為6厘米、下底為12厘米，這樣假設(shè)是為了下面計(jì)算簡(jiǎn)便。根據(jù)甲梯形的面積可求出甲梯形的高為30÷(6+12)×2=10/3厘米。

　　根據(jù)比例關(guān)系，乙梯形的上底為9厘米，下底為15厘米，高為20/3厘米，乙梯形的面積為（9+15）×20/3÷2=80平方厘米；同理算得，丙梯形的面積為(4+10)×10÷2=70平方厘米。

　　乙丙兩梯形面積和為150平方厘米，和我們前面計(jì)算的答案不相等！

　　這樣，我們就發(fā)現(xiàn)了前面計(jì)算的結(jié)果是不正確的，還知道了正確的答案可能是什么。

　　三、交叉檢查

　　波利亞在書(shū)中的原意，是用兩種不同的方法得出同一個(gè)結(jié)果。為了突出兩種方法的差異，我把它改稱(chēng)交叉檢查。就好象匯總報(bào)表，如果從橫向和縱向兩個(gè)方向都能得出相同的總數(shù)，那么計(jì)算錯(cuò)誤的可能性就要小得多。

　　老師們經(jīng)常讓學(xué)生在做完題目之后，把答案代入題目中檢查一下，這也是交叉檢查的一種方法。

　　前面的一期中，我們舉過(guò)這樣一個(gè)例子：

　　現(xiàn)在是下午5點(diǎn)，過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)針和分針會(huì)重合？

　　當(dāng)時(shí)我們的解法是把這個(gè)問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)路程問(wèn)題。時(shí)針的速度是每小時(shí)1/12圈，分針的速度是每小時(shí)1圈，時(shí)針領(lǐng)先分針5/12圈，所以算得：

　　原題請(qǐng)見(jiàn)：《數(shù)學(xué)題目沒(méi)思路？試試回想一道相似的題目》

　　我們檢查時(shí)，可以換一種方法，去計(jì)算分針和時(shí)針此時(shí)的位置。

　　時(shí)針和正上方（12點(diǎn)鐘方向）之間的夾角等于：

　　分針和12點(diǎn)鐘方向的夾角等于：

　　兩個(gè)角度相等，所以答案正確。如果我們用了兩種不同的方法得出了相同的結(jié)果，那么我們對(duì)這個(gè)答案就可以比較放心了。

　　總之，和想出一個(gè)思路來(lái)比較，驗(yàn)證一個(gè)答案是不是正確，總是要簡(jiǎn)單一些。

　　如果你看完文章后忘得差不多了，那么至少帶走下面兩點(diǎn)：一、要有檢查的意識(shí)，不能做完題就完了。二、考慮到檢查要花的時(shí)間，檢查實(shí)際上是個(gè)成本—收益的問(wèn)題，要會(huì)使用一些高效的方法。

　　不過(guò)，我們講做完題目要總結(jié)回顧，最主要的原因還不是為了找錯(cuò)誤。而是不管在什么情況下，回顧做過(guò)的題目，總是會(huì)有一些收獲。下一期，我們就專(zhuān)門(mén)來(lái)講這點(diǎn)。

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