定積分差分法求積分的計(jì)算一般思路與步驟(不定積分計(jì)算思路從step3開始):
Step1:分析積分區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱差分法求積分,即為[-a,a]差分法求積分,如果是差分法求積分,則考慮被積函數(shù)的整體或者經(jīng)過(guò)加減拆項(xiàng)后的部分是否具有奇偶性,如果有,則考慮使用“偶倍奇零”性質(zhì)簡(jiǎn)化定積分計(jì)算.
Step2:考慮被積函數(shù)是否具有周期性,如果是周期函數(shù),考慮積分區(qū)間的長(zhǎng)度是否為周期的整數(shù)倍,如果是,則利用周期函數(shù)的定積分在任一周期長(zhǎng)度的區(qū)間上的定積分相等的結(jié)論簡(jiǎn)化積分計(jì)算.
Step3:考察被積函數(shù)是否可以轉(zhuǎn)換為“反對(duì)冪指三”五類基本函數(shù)中兩個(gè)類型函數(shù)的乘積,或者是否包含有正整數(shù)n參數(shù),或者包含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘項(xiàng),如果是,可考慮使用定積分的分部積分法計(jì)算定積分.
Step4:考察被積函數(shù)是否包含有特定結(jié)構(gòu)的函數(shù),比如根號(hào)下有平方和、或者平方差(或者可以轉(zhuǎn)換為兩項(xiàng)的平和或差的結(jié)構(gòu)),是否有一次根式,對(duì)于有理式是否分母次數(shù)比分子次數(shù)高2次以上;是否包含有指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),對(duì)于具有這樣結(jié)構(gòu)的積分,考慮使用三角代換、根式代換、倒代換或指數(shù)、對(duì)數(shù)代換等;換元的函數(shù)一般選取嚴(yán)格單調(diào)函數(shù);與不定積分不同的是,在變量換元后,定積分的上下限必須轉(zhuǎn)換為新的積分變量的范圍,依據(jù)為:上限對(duì)上限、下限對(duì)下限;并且換元后直接計(jì)算出關(guān)于新變量的定積分即為最終結(jié)果,不再需要逆變換換元差分法求積分!
【注1】不管是分部積分法還是換元法(第一類換元法),一般是將被積函數(shù)分解為兩個(gè)函數(shù)的乘積,然后考察簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù),一般思路為(假設(shè)函數(shù)h(x)為簡(jiǎn)單函數(shù)):
【注2】對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的乘積,在尋找h(x)的原函數(shù)的過(guò)程中,注意觀察可能的原函數(shù)結(jié)構(gòu)與余下函數(shù)的關(guān)系,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)(加、減、乘、除函數(shù)項(xiàng)彌補(bǔ)需求)得到函數(shù)的原函數(shù)。
考慮到分式求導(dǎo)公式,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)結(jié)果,容易發(fā)現(xiàn),如果求導(dǎo)的函數(shù)多一個(gè)分子x,則正好符合要求,所以就有
【注3】考慮簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)尋找余下函數(shù)的關(guān)系來(lái)構(gòu)造合適的換元方式與計(jì)算方法。
【注4】記得三角代換的三個(gè)三角形用來(lái)逆代換三角函數(shù)表達(dá)式.
例1:設(shè)
求{an} (n=1,2,…)所有項(xiàng)的和.
【思路一】
【思路二】
【思路三】令t=1-x,則
從而
例2:計(jì)算不定積分
【思路】使用以上分解函數(shù)的方法,借助分部積分問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜,由于問(wèn)題中包含有指數(shù)函數(shù),又不能直接換成“反對(duì)冪指三”的結(jié)構(gòu),所以考慮對(duì)指數(shù)函數(shù)換元。
【解】:令e3x=t,于是有3x=lnt,x=lnt/3,且dx=1/(3t)dt,于是有
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